G2 в математике — название трёх простых групп Ли (комплексной, вещественной компактной и вещественной разделённой), связанной с ними алгебры Ли , а также нескольких алгебраических групп. Являются наименьшими из пяти исключительных простых групп Ли, рангом 2 и размерностью 14, с точными нетривиальными конечномерными линейными представлениями. Всего G2 имеет два фундаментальных представления размерностью 7 и 14, первое из которых отвечает короткому корню системы корней G2.
Компактная форма G2 является группой автоморфизмов алгебры октoнионов (октав) или подгруппой группы SO(7), оставляющую на месте фиксированный 8-мерный спинор (в её спинорном представлении).
Реализации
Существуют 3 простые вещественные алгебры Ли, ассоционированные с данной системой корней:
- Лежащая в основе комплексной алгебры Ли G2 сугубо действительная алгебра Ли 28-мерна и односвязна. Комплексное сопряжение является её внешним автоморфизмом. Максимальная компактная подгруппа ассоциированной с этой алгеброй группы и есть компактная форма G2.
- Алгебра Ли в компактной форме имеет размерность 14. Ассоциированная группа Ли не имеет внешних автоморфизмов, центра и является односвязной и компактной.
- Алгебра Ли в некомпактной (разделённой) форме содержит 14 измерений. Ассоциированная простая группа Ли имеет фундаментальную группу 2 порядка, а её группа внешних автоморфизмов — тривиальная группа. Её максимальная компактная подгруппа — SU(2)×SU(2)/(−1×−1). Для данной группы существует неалгебраическая двойная универсальная накрывающая группа (односвязная).
Алгебраические свойства
Схема Дынкина
Система корней G2
Несмотря на то, что корневые векторы можно разместить в 2-мерном пространстве, более симметричным выглядит их выражение тремя координатами, сумма которых равна нулю:
- (1,−1,0), (−1,1,0)
- (1,0,−1), (−1,0,1),
- (0,1,−1), (0,−1,1),
- (2,−1,−1), (−2,1,1),
- (1,−2,1), (−1,2,−1),
- (1,1,−2), (−1,−1,2),
и простые положительные корневые вектора
- (0,1,−1), (1,−2,1).
Группа Вейля/Кокстера
Для алгебры G2 это — группа диэдра D12 12 порядка.
Матрица Картана
Специальные голономии
G2 — одна из тех специальных групп, которые могут быть группами голономии римановой метрики. Многообразия, обладающие G2-голономией, называются G2-многообразиями.
Ссылки
- John Baez, The Octonions, Section 4.1: G2, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145—205. Онлайн HTML версия.
 |
Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .