Обозначения и связанные определения
- Элементы ортогональной группы называются ортогональными (относительно
) преобразованиями
, а также автоморфизмами формы
(точнее, автоморфизмами пространства
относительно формы
).
- Обозначается
,
,
и т. п. Когда квадратичная форма не указана явно, то подразумевается форма, задаваемая суммой квадратов координат, то есть выражающаяся единичной матрицей.
- Над полем действительных чисел, ортогональная группа незнакоопределённой формы с сигнатурой (
плюсов,
минусов) где
, обозначается
, см. напр. O(1,3).
Свойства
- В случае если характеристика основного поля больше двух, то с
связана невырожденная симметрическая билинейная форма
на
, определенная формулой
- Тогда ортогональная группа состоит в точности из тех линейных преобразований пространства
, которые сохраняют
, и обозначается через
или (когда ясно о каком поле
и форме
идёт речь) просто через
.
- Если
— матрица формы
в неком базисе пространства
, то ортогональная группа может быть отождествлена с группой всех таких матриц
с коэффициентами в
, что
- В частности, если базис таков, что
является суммой квадратов координат (то есть, матрица
единична), то такие матрицы
называются ортогональными.
- Над полем вещественных чисел, группа
компактна тогда и только тогда, когда форма
знакоопределена.
- В этом случае любой элемент из
, для подходящего базиаса представляется как блочно-диагональная матрица
- где R1, ..., Rk — 2х2 матрицы поворотов; теорема вращения Эйлера является частным случем этого утверждения.
Другие группы
Ортогональная группа является подгруппой полной линейной группы GL(
). Элементы ортогональной группы, определитель которых равен 1 (это свойство не зависит от базиса), образуют подгруппу — специальную ортогональную группу
, обозначаемую так же, как и ортогональная группа, но с добавлением буквы «S».
, по построению, является также подгруппой специальной линейной группы
.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .