WikiSort.ru - Музыка

Группа (математика)

Теория групп

Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа (полу-)Прямое произведение

Конечные группы Классификация простых конечных групп Циклическая группа Cp Симметрическая группа Sn Диэдрическая группа Dn Знакопеременная группа An Группы Матьё M11 • M12 • M22 • M23 • M24 Группы Конвея Co1 • Co2 • Co3 Группы Янко J1 • J2 • J3 • J4 Группы Фишера F22 • F23 • F24 Монстр (М)

Топологические группы Группа Ли Ортогональная группа O(n) Специальная унитарная группа SU(n) G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ Группа Лоренца Группа Пуанкаре

См. также: Портал:Физика

Гру́ппа Пуанкаре́ (неоднородная группа Лоренца) — группа движений пространства Минковского, совпадающая с группой всех вещественных преобразований 4-векторов ${\displaystyle x=x^{\mu }=\{x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\}}$ вида ${\displaystyle x'^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }x^{\nu }+a^{\mu }}$ , где ${\displaystyle \Lambda }$ — преобразование из группы Лоренца, ${\displaystyle a^{\mu }}$ — 4-вектор смещения (трансляции). Элемент группы Пуанкаре обычно обозначается ${\displaystyle \{a,\Lambda \}}$ , а закон композиции имеет вид

${\displaystyle \{a_{1},\Lambda _{1}\}\{a_{2},\Lambda _{2}\}=\{a_{1}+\Lambda _{1}a_{2},\Lambda _{1}\Lambda _{2}\}.}$

Группа Пуанкаре играет важную роль в специальной теории относительности, являясь группой её глобальной симметрии. Математическая форма

• законов релятивистской кинематики,
• уравнений Максвелла в теории электромагнетизма,
• уравнения Дирака в теории электрона

остаётся инвариантной по отношению к преобразованиям Лоренца. Таким образом, группа Пуанкаре характеризует фундаментальную симметрию наиболее важных законов природы.

Группа была введена в 1905 году Анри Пуанкаре. Как и группа Лоренца, группа ${\displaystyle P}$ имеет четыре компоненты связности, различаемые значениями ${\displaystyle \det \Lambda }$ и знаком ${\displaystyle \Lambda _{0}^{0}}$ . Это — неабелева, некомпактная и непростая группа Ли. Наиболее важной является компонента ${\displaystyle P}$ , у которой ${\displaystyle \det \Lambda =1}$ , ${\displaystyle \Lambda _{0}^{0}>0}$ , содержащая тождественное преобразование.

Группа ${\displaystyle P}$ — 10-параметрическая: к шести генераторам ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$ группы Лоренца добавляются четыре генератора трансляций.