WikiSort.ru - Музыка

Группа (математика)

Теория групп

Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа (полу-)Прямое произведение

Конечные группы Классификация простых конечных групп Циклическая группа Cp Симметрическая группа Sn Диэдрическая группа Dn Знакопеременная группа An Группы Матьё M11 • M12 • M22 • M23 • M24 Группы Конвея Co1 • Co2 • Co3 Группы Янко J1 • J2 • J3 • J4 Группы Фишера F22 • F23 • F24 Монстр (М)

Топологические группы Группа Ли Ортогональная группа O(n) Специальная унитарная группа SU(n) G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ Группа Лоренца Группа Пуанкаре

См. также: Портал:Физика

Гру́ппа Ло́ренца является группой преобразований Лоренца пространства Минковского, сохраняющих начало координат (то есть являющихся линейными операторами)^[1]. В математике обозначается ${\displaystyle O(1,\;3)}$ .

Группа Лоренца состоит из однородных линейных преобразований координат четырёхмерного пространства-времени: ${\displaystyle x_{\nu }^{'}=\sum _{\mu }L_{\nu \mu }x_{\mu }}$ , ${\displaystyle x_{0}=ct,x_{1}=x,x_{2}=y,x_{3}=z}$   которые оставляют инвариатной квадратичную форму, которая является математическим выражением четырёхмерного интервала, ${\displaystyle s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$ и не меняют направления времени. Группа Лоренца включает пространственные повороты в трёх плоскостях ${\displaystyle xy,yz,zx}$ , лоренцевы преобразования ${\displaystyle xt,yt,zt}$ , отражения пространственных осей ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle x\to -x,y\to -y,z\to -z}$ и все их произведения. ^[2]

Специальная группа Лоренца ${\displaystyle SO(1,\;3)}$  — подгруппа преобразований, определитель матрицы которых равен 1 (в общем случае он равен ${\displaystyle \pm 1}$ ).

Ортохронная группа Лоренца ${\displaystyle O_{\uparrow }(1,\;3)}$ , специальная ортохронная группа Лоренца ${\displaystyle SO_{\uparrow }(1,\;3)}$  — аналогично, но все преобразования сохраняют направление будущего во времени (знак координаты ${\displaystyle x^{0}}$ ). Группа ${\displaystyle SO_{\uparrow }(1,\;3)}$ , единственная из четырёх, является связной и изоморфна группе Мёбиуса.

Представления группы Лоренца

Пусть физическая величина (например, четырёхмерный вектор энергии-импульса или потенциал электромагнитного поля) описывается многокомпонентной функцией координат ${\displaystyle U_{\alpha }(x)}$ . При переходе из одной инерциальной системы отсчёта к другой, компоненты физической величины линейно преобразуются друг через друга: ${\displaystyle u_{\beta }^{'}=\sum _{\alpha }\Lambda _{\beta \alpha }u_{\alpha }(x)}$ . При этом матрица ${\displaystyle \Lambda }$ имеет ранг ${\displaystyle \nu }$ , равный числу компонент величины ${\displaystyle u_{\alpha }}$ . Каждому элементу группы Лоренца ${\displaystyle P}$ соответствует линейное преобразование ${\displaystyle \Lambda (P)}$ , единичному элементу группы Лоренца (тождественному преобразованию) соответствует единичное преобразование ${\displaystyle \Lambda =1}$ , а произведению двух элементов группы Лоренца ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$ соответствует произведение двух преобразований ${\displaystyle \Lambda (P_{1}P_{2})=\Lambda (P_{1})\Lambda (P_{2})}$ . Систему матриц с перечисленными свойствами называют линейным представлением группы Лоренца. ^[3] Представления группы Лоренца в комплексных линейных пространствах очень важны для физики, так как связаны с понятием спина. Все неприводимые представления специальной ортохронной группы Лоренца ${\displaystyle SO_{\uparrow }(1,\;3)}$ можно построить при помощи спиноров.

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Примечания

Литература

• Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро З. Я.  Представления группы вращений и группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958. — 367 с.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.  Современная геометрия: методы и приложения. — М.: Наука, 1986. — 760 с.
• Любарский Г. Я.  Теория групп и её применение в физике. — М.: Физматгиз, 1958. — 355 с.
• Наймарк М. А.  Линейные представления группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958. — 376 с.
• Фёдоров Ф. И.  Группа Лоренца. — М.: Наука, 1979. — 384 с.  (Излагается векторная параметризация группы Лоренца и её применение)
• Artin, Emil. Geometric Algebra. — New York : Wiley, 1957. — ISBN 0-471-60839-4.. See Chapter III for the orthogonal groups O(p, q).
• Carmeli, Moshe. Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field. — McGraw-Hill, New York, 1977. — ISBN 0-07-009986-3.. A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group.
• Frankel, Theodore. The Geometry of Physics (2nd Ed.). — Cambridge : Cambridge University Press, 2004. — ISBN 0-521-53927-7.. An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
• Fulton, William; & Harris, Joe. Representation Theory: a First Course. — New York : Springer-Verlag, 1991. — ISBN 0-387-97495-4.. See Lecture 11 for the irreducible representations of SL(2,C).
• Hall, G. S. Symmetries and Curvature Structure in General Relativity. — Singapore : World Scientific, 2004. — ISBN 981-02-1051-5.. See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
• Hatcher, Allen. Algebraic topology. — Cambridge : Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-79540-0.. See also the online version (неопр.). Проверено 3 июля 2005. Архивировано 20 февраля 2012 года. See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.
• Naber, Gregory. The Geometry of Minkowski Spacetime. — New York : Springer-Verlag, 1992. — ISBN 0-486-43235-1 (Dover reprint edition).. An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
• Needham, Tristam. Visual Complex Analysis. — Oxford : Oxford University Press, 1997. — ISBN 0-19-853446-9.. See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.
• Ширков Д. В. Физика микромира. — М.: Советская энциклопедия, 1980. — 527 с.

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

См. также

• Прецессия Томаса
• Группа Пуанкаре