-классификация — полный список однониточных диаграмм Дынкина — диаграмм, в которых отсутствуют кратные рёбра, что соответствует простым корням в системе корней, образующим углы (отсутствие ребра между вершинами) или (одиночное ребро между вершинами). Список состоит из:
Список содержит два из четырёх семейств диаграмм Дынкина (не входят и ) и три из пяти исключительных диаграмм Дынкина (не входят и ).
Список не является избыточным, если принять для . Если расширить семейства, то получаются исключительные изоморфизмы[en]
и соответствующие изоморфизмы классифицируемых объектов.
Вопрос о создании общего начала такой классификации (а не выявление параллелей опытным путём) был поставлен Арнольдом в докладе «Проблемы современной математики»[1].
Классы , , включают также однониточные конечные группы Коксетера с теми же диаграммами — в этом случае диаграммы Дынкина в точности совпадают с диаграммами Коксетера, поскольку нет кратных рёбер.
В терминах комплексных полупростых алгебр Ли:
В терминах компактных алгебр Ли[en] и соответствующих однониточных групп Ли:
Та же самая классификация подходит для дискретных подгрупп , бинарной полиэдральной группы[en]. По сути, бинарные полиэдральные группы соответствуют однониточным аффинным диаграммам Дынкина , и задания этих групп можно понять в терминах этих диаграмм. Эта связь известна как соответствие Маккея[en] (в честь Джона Маккея[en]). Связь с правильными многогранниками описана в книге Диксона «Algebraic Theories» [2]. Соответствие использует построение графов Маккея[en].
При этом -соответствие не является соответствием правильных многогранников их группам отражений[en]. Например, в -соответствии тетраэдр, куб/октаэдр и додекаэдр/икосаэдр соответствуют , в то время как группы отражений тетраэдра, куба и октаэдра, додекаэдра и икосаэдра являются заданиями групп Коксетера и
Орбиобразие , построенное с помощью всех дискретных подгрупп, приводит к сингулярности типа в начале координат, которая называется дювалевской особенностью[en].
Соответствие Маккея можно распространить и на многониточные диаграммы Дынкина при использовании пары бинарных полиэдральных групп. Это соответствие известно как соответствие Слодови (по имени немецкого математика Петера Слодови[en])[3].
-графы и расширенные (аффинные) -графы можно описать в терминах маркировки некоторыми свойствами[4], которые можно сформулировать в терминах дискретных операторов Лапласа [5] или матриц Картана. Доказательства в терминах матриц Картана можно найти в книге Каца «Infinite dimensional Lie algebras» [6].
Аффинные -графы — это графы, допускающие позитивную маркировку (когда вершины помечаются положительными вещественными числами) со следующими свойствами:
То есть существуют принимающие лишь положительные значения функции с собственным значением 1 дискретного лапласиана (сумма смежных вершин минус значение в вершине) — положительное решение однородного уравнения:
Эквивалентно, положительные функции в ядре . Результирующая нумерация является единственной с точностью до постоянного множителя, а с нормализацией, при которой минимальное число равно 1, состоит из малых целых чисел — от 1 до 6, которые зависят от графа.
Обычные -графы — это только графы, допускающие положительную маркировку со следующими свойствами:
В терминах лапласианов это положительное решение однородного уравнения:
Результирующая нумерация является единственной (с точностью до постоянного множителя, значение которого определяется числом «2») и состоит из целых чисел. Для эти числа лежат в пределах от 58 до 270[7].
Элементарные катастрофы также классифицируются с помощью -классификации.
Диаграммы являются в точности колчанами[en] конечного типа вследствие теоремы Габриэля[en].
Существует также связь с обобщёнными четырёхугольниками, так как три невырожденных обобщённых четырёхугольника с тремя точками на каждой прямой соответствуют исключительным корням систем , и =[8]. Классы и соответствуют вырожденным случаям, где множество прямых пусто или все прямые проходят через одну точку, соответственно[9].
Существует глубокая связь между этими объектами, скрытыми за этой классификацией, и некоторые из этих связей можно понять через теорию струн и квантовую механику[уточнить].
Арнольд предложил много других связей под рубрикой «математические троицы»[10][11], а Маккей расширил эти соответствия. Арнольд использовал термин «троицы» с намёком на религию и предположил, что (в настоящее время) эти параллели скорее ближе к вере, чем к строгим доказательствам, хотя некоторые параллели хорошо проработаны. Далее троицы были подхвачены и другими авторами[12][13][14]. Троицы Арнольда начинаются с (вещественные числа, комплексные числа и кватернионы), которые, как он заметил, «все знают», и продолжены другими троицами, такими как «комплесизация» и «кватернизация» классических (вещественных) математических объектов по аналогии с поисками симплектических аналогий римановой геометрии, которые он предложил до этого в 1970-х годах. Кроме примеров из дифференциальной топологии (таких как характеристические классы), Арнольд рассматривает три симметрии правильных многогранников (тетраэдральная, октаэдральная, икосаэдральная) как соответствующие вещественным числам, комплексным числам и кватернионам, которые связаны с дальнейшими алгебраическими соответствиями Маккея.
Проще всего поддаются описанию соответствия Маккея[en]. Во-первых, расширенные диаграммы Дынкина (соответствующие тетраэдральной, октаэдральной и икосаэдральной симметрий) имеют группы симметрии , соответственно, и ассоциированные свёртки — диаграммы (при менее аккуратной записи признак расширения — тильда — часто опускается). Что более существенно, Маккей предположил соответствие между вершинами диаграмм и некоторыми классами смежности монстра, что известно как замечание Маккея о [15][16]. Маккей далее соотносит вершины с классами смежности в (раширение порядка 2 группы Бэби-Монстр[en]), а вершины с классами смежности в (расширение порядка 3 группы Фишера)[16]. Это три самые большие спорадические группы, притом порядок расширения соответствует симметриям диаграммы.
Если перейти от больших простых групп к малым, группы, соответствующие правильным многогранникам, и имеют связь с проективными специальными группами , и (порядка 60, 168 и 660)[17][13]. Эти группы являются единственными (простыми) группами со значением , таким, что действует нетривиально на точек, факт, который восходит к работам Эвариста Галуа 1830-х годов. Фактически, группы разлагаются на произведение множеств (но не произведение групп) следующим образом: и Эти группы связаны также с различными геометриями (начиная с работ Феликса Клейна 1870-х годов)[18]. Ассоциированные геометрии (мозаики на римановых поверхностях), в которых можно видеть действие на точек, следующие: является группой симметрий икосаэдра (род 0) на соединении пяти тетраэдров как 5-элементном множестве, является группой симметрий квартики Клейна[en] (род 3) на вложенной плоскости Фано как 7-элементном множестве (двойная плоскость порядка 2) и является группой симметрий поверхности бакминстерфуллерена (род 70) на вложенной двойной плоскости Палея[en] как 11-элементном множестве (двойная плоскость порядка 3)[19]. Из перечисленных икосаэдры известны ещё с древности, квартики Клейна были введены Клейном в 1870-х годах, а бакибо́л-поверхности введены Пабло Мартином и Сигерманом в 2008 году.
Маккей связывает также , и соответственно с 27 прямыми на кубической поверхности[en], 28 двойными касательными квартики[en] и 120 трижды касательными плоскостями канонической кривой шестого порядка с родом 4[20][21].
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .