WikiSort.ru - Музыка

Проективная группа от ${\displaystyle n}$ переменных над телом ${\displaystyle K}$  — группа ${\displaystyle PGL_{n}(K)}$ преобразований ${\displaystyle (n-1)}$ -мерного проективного пространства ${\displaystyle P_{n-1}(K)}$ , индуцированных невырожденными линейными преобразованиями пространства ${\displaystyle K^{n}}$ . Имеется естественный эпиморфизм

${\displaystyle P:GL_{n}(K)\to PGL_{n}(K)}$ ,

ядром которого служит группа гомотетий пространства ${\displaystyle K^{n}}$ , изоморфная мультипликативной группе ${\displaystyle Z^{*}}$ центра ${\displaystyle Z}$ тела ${\displaystyle K}$ . Элементы группы ${\displaystyle PGL_{n}(K)}$ , называются проективными преобразованиями, являются коллинеациями пространства ${\displaystyle P_{n-1}(K)}$ .

Свойства

• При ${\displaystyle n\geq 2}$ группа ${\displaystyle PSL_{n}(K)}$ проста, за исключением двух случаев: когда ${\displaystyle n=2}$ и ${\displaystyle |K|=2}$ или ${\displaystyle 3}$ .
• Если ${\displaystyle K}$  — конечное поле из ${\displaystyle q}$ элементов, то
      ${\displaystyle |PSL_{n}(K)|=(q-1,n)^{-1}q^{n(n-1)/2}(q^{n}-1)(q^{n-1}-1)\cdots (q^{2}-1).}$

Вариации и обобщения

Наряду с группой ${\displaystyle PGL_{n}(K)}$ , называемой также полной проективной группой, рассматривают унимодулярную проективную группу ${\displaystyle PSL_{n}(K)}$ и вообще группы вида ${\displaystyle P(G)}$ , где ${\displaystyle G}$  — некоторая линейная группа.

См. также

Общая линейная группа

Литература

• Дьедонне Ж. Геометрия классических групп, пер. с франц., — М., 1974.

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.