WikiSort.ru - Музыка

Спинорная группа — подмножество элементов алгебры Клиффорда над ${\displaystyle V}$ (со скалярным произведением), состоящее из элементов вида ${\displaystyle q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n}}$ , где ${\displaystyle q_{i}\in V}$  — единичные векторы. Операцией в спинорной группе является умножение в алгебре Клиффорда.

Спинорная группа над евклидовым пространством ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ обычно обозначается ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ . Существует короткая точная последовательность

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1}$

Таким образом спинорная группа является двулистным накрытием специальной ортогональной группы ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ . Гомоморфизм ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}$ может быть построен следующим образом: Каждому единичному вектору q можно сопоставить отражение ${\displaystyle R_{q}}$ относительно гиперплоскости, перпендикулярной q. Таким образом, элементу спинорной группы ${\displaystyle q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n}}$ можно сопоставить композицию отражений

${\displaystyle R_{q_{1},}\circ \cdots \circ R_{q_{2n}}}$

которая принадлежит группе ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ .

Строение первых спинорных групп

${\displaystyle \operatorname {Spin} (1)\simeq \operatorname {O} (1)\simeq \mathbb {Z} _{2}\simeq S^{0}}$

${\displaystyle \operatorname {Spin} (2)\simeq \operatorname {U} (1)\simeq S^{1}}$

${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\simeq \operatorname {Sp} (1)\simeq \operatorname {SU} (2)\simeq S^{3}}$

${\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\simeq \operatorname {Sp} (1){\times }\operatorname {Sp} (1)\simeq \operatorname {SU} (2){\times }\operatorname {SU} (2)\simeq S^{3}{\times }S^{3}}$

${\displaystyle \operatorname {Spin} (5)\simeq \operatorname {Sp} (2)}$

${\displaystyle \operatorname {Spin} (6)\simeq \operatorname {SU} (4)}$

Литература

• Karoubi, Max. K-Theory. — Springer, 2008. — P. 210–214. — ISBN 978-3-540-79889-7.

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 14 мая 2011 года.