WikiSort.ru - Музыка

Основные соотношения

• Эрмитовость: ${\displaystyle \sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i};}$
• Равенство нулю следа: ${\displaystyle \operatorname {Tr} (\sigma _{i})=0,\quad \ i=1,2,3}$
• ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=\sigma _{0}=I,}$ где ${\displaystyle I=\sigma _{0}}$  — единичная матрица размерности 2×2.
• Определитель матриц Паули равен −1.
• Алгебра, порождённая элементами ${\displaystyle \sigma _{0},-i\sigma _{x},-i\sigma _{y},-i\sigma _{z}}$ , изоморфна алгебре кватернионов ${\displaystyle \langle 1,i,j,k\rangle }$ .

Правила умножения матриц Паули

${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=i\sigma _{3},}$

${\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{1}=i\sigma _{2},}$

${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}=i\sigma _{1},}$

${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i}}$ для ${\displaystyle i\neq j.}$

Эти правила умножения можно переписать в компактной форме

${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}+\delta _{ij}\cdot \sigma _{0},\quad i,j,k=1,2,3}$ ,

где ${\displaystyle \delta _{ij}}$  — символ Кронекера, а ε_ijk — символ Леви-Чивиты.

Из этих правил умножения следуют коммутационные соотношения

${\displaystyle {\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k},\\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot \sigma _{0}.\end{matrix}}}$

Квадратные скобки означают коммутатор, фигурные — антикоммутатор.

Также для матриц Паули выполняются тождества Фирца.

Связь с алгебрами Ли

Коммутационные соотношения матриц ${\displaystyle i\sigma _{k}}$ совпадают с коммутационными соотношениями генераторов алгебры Ли su(2). И действительно, вся эта алгебра, состоящая из антиэрмитовых матриц 2×2, может быть построена из произвольных линейных комбинаций матриц ${\displaystyle i\sigma _{k}\;.}$ Группа SU(2) с алгеброй su(2) локально изоморфна группе SO(3) вращений трёхмерного пространства; в частности этим объясняется важность матриц Паули для физики.