WikiSort.ru - Музыка

Преобразование Мёбиуса — дробно-линейная функция одного комплексного переменного, тождественно не равная константе:

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},\quad a,\;b,\;c,\;d\in \mathbb {C} ,\quad ad-bc\neq 0.}$

Легко проверяются следующие простые свойства:

1. Тождественное отображение ${\displaystyle f(z)=z}$ также является частным случаем дробно-линейной функции. Достаточно подставить ${\displaystyle a=d=1,\;b=c=0}$ .
2. Суперпозиция дробно-линейных отображений также будет представлять собой дробно-линейную функцию.
3. Функция, обратная дробно-линейной, также будет являться такой.

Отсюда следует, что дробно-линейные отображения будут образовывать группу относительно операции суперпозиции (группа автоморфизмов сферы Римана, именуемая также группой Мёбиуса). Эта группа является комплексно-трёхмерной группой Ли.

Алгебраические свойства

При умножении параметров ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ , ${\displaystyle d}$ на ненулевое комплексное число преобразование не меняется. Говоря формально, группа Мёбиуса является проективизацией группы ${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {C} )}$ , то есть имеет место эпиморфизм: ${\displaystyle \left({\begin{matrix}a&&b\\c&&d\end{matrix}}\right)\to {\frac {az+b}{cz+d}}}$ .

Группа Мёбиуса изоморфна специальной ортохронной группе Лоренца ${\displaystyle SO^{\uparrow }(1,\;3)}$ .

Предположим, что матрица, соответствующая преобразованию, нормализована, то есть удовлетворяет условию ${\displaystyle ad-bc=1}$ . Тогда, в зависимости следа этой матрицы, равного ${\displaystyle a+d}$ , можно классифицировать все дробно-линейные отображения на три типа:

• эллиптические: ${\displaystyle |a+d|<2}$ ;
• параболические: ${\displaystyle a+d=\pm 2}$ ;
• гиперболические: ${\displaystyle |a+d|>2}$ .

Геометрические свойства

Во-первых, любое дробно-линейное отображение может быть представлено в виде комбинации сдвигов, инверсий, поворотов и растяжений. Это доказывается просто — произвольное отображение ${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ разложимо в суперпозицию четырёх функций:

${\displaystyle f(z)=f_{4}(f_{3}(f_{2}(f_{1}(z)))),}$

где

${\displaystyle {\begin{matrix}f_{1}(z)&=&z+{\dfrac {d}{c}},\\f_{2}(z)&=&{\dfrac {1}{z}},\\f_{3}(z)&=&-{\dfrac {ad-bc}{c^{2}}}z,\\f_{4}(z)&=&z+{\dfrac {a}{c}}.\end{matrix}}}$

Во-вторых, непосредственно из этого сразу следует свойство сохранения углов и сохранения окружностей при дробно-линейном отображении, так как все отображения, входящие в суперпозицию, конформны. Здесь подразумеваются окружности на сфере Римана, в число которых входят прямые на плоскости.

Далее, для трёх попарно различных точек ${\displaystyle z_{1},\;z_{2},\;z_{3}}$ существует единственное дробно-линейное отображение, переводящее эти три точки в заданные три попарно различные точки ${\displaystyle w_{1},\;w_{2},\;w_{3}}$ . Оно строится, исходя из того, что дробно-линейные отображения сохраняют ангармоническое отношение четырёх точек комплексной плоскости. Если точка ${\displaystyle w(z)}$ является образом точки ${\displaystyle z}$ , то выполняется равенство

${\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z)}{(z_{1}-z)(z_{2}-z_{3})}}={\frac {(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w(z))}{(w_{1}-w(z))(w_{2}-w_{3})}},}$

которое (при условии, что ${\displaystyle z_{i}\neq z_{j},w_{i}\neq w_{j}}$ при ${\displaystyle i\neq j}$ ) однозначно определяет искомое отображение ${\displaystyle w(z).}$

Преобразование Мёбиуса и единичный круг

Преобразование Мёбиуса

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

является автоморфизмом единичного круга ${\displaystyle \Delta =\{z\in {\mathbb {C} }:\,|z|<1\}}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a{\bar {b}}=c{\bar {d}}}$ и ${\displaystyle {\frac {bc}{ad}}}$ принадлежит интервалу ${\displaystyle (0,\;1)}$ или ${\displaystyle b=c=0}$ и ${\displaystyle |a|=|d|>0}$ .

Как для сферы Римана, так и для единичного круга дробно-линейными функциями исчерпываются все конформные автоморфизмы. Автоморфизмы единичного круга образуют вещественно-трёхмерную подгруппу группы Мёбиуса; каждый из них выражается в виде:

${\displaystyle f(z)=e^{i\varphi }{\frac {z+\beta }{{\bar {\beta }}z+1}},\quad \beta \in \Delta ,\quad |e^{i\varphi }|=1.}$

Примеры

Одним из важных примеров дробно-линейной функции является преобразование Кэли:

${\displaystyle W(z)={\frac {z-i}{z+i}}.}$

Оно связывает две канонические области на комплексной плоскости, отображая верхнюю полуплоскость ${\displaystyle {\mathbb {C} }^{+}}$ в единичный круг ${\displaystyle \Delta }$ .

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

Ссылки

• Moebius Transformations Revealed на YouTube.
  • то же (с русскими субтитрами).

Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Викифицировать список литературы.