WikiSort.ru - Музыка

Группа вращения (группа поворотов) в механике и геометрии — набор всех вращений вокруг начала координат в трёхмерном евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ . По определению, вращение вокруг начала координат — линейное преобразование, которое сохраняет длину векторов, а также сохраняет ориентацию (правую и левую тройку векторов). Группа вращений изоморфна группе вещественных ортогональных матриц ${\displaystyle 3\times 3}$ с определителем 1 (называемой специальной ортогональной группой размерности 3 — ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ ).

Иногда группами вращений называют все специальные ортогональные группы ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ (в обобщении до пространств ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ).

Свойства

• Группа вращений некоммутативна.
• Группа вращений является группой Ли.
• Группа ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ диффеоморфна проективному пространству размерности 3. По теореме вращения Эйлера, любое вращение можно задать прямой (осью вращения, заданной единичным вектором ${\displaystyle v}$ ), проходящей через центр координат, и углом ${\displaystyle \varphi \in [-\pi ,\pi ]}$ . Можно было бы сопоставить каждому вращению вектор ${\displaystyle \varphi v}$ и тем самым отождествить элементы группы вращения с точками шара радиуса ${\displaystyle \pi }$ . Однако, такое сопоставление не было бы биективным, так как углам ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle -\pi }$ соответствует одно и то же вращение. Поэтому, отождествив диаметрально противоположные точки на границе шара, получим проективное пространство.
• Универсальная накрывающая группы ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ является специальной унитарной группой ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ , или, что то же самое, группой единичных по модулю кватернионов (действующих на касательном пространстве к единичной сфере сопряжениями). При этом накрытие двулистно.

См. также

• Угловой момент
• Углы Эйлера
• Твёрдое тело

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
• Богополский О. В. Введение в теорию групп. — М.: Москва-Ижевск: ИКИ, 2002. — 148 с. — ISBN 5-93972-165-6.

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.