WikiSort.ru - Музыка

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Форма Киллинга — симметричная билинейная форма на алгебре Ли определённого типа.

История

Форма Киллинга была введена  Картаном в его диссертации. Название «форма Киллинга» впервые ввёл Борель в 1951 году в честь Вильгельма Киллинга. В 2001 году он заявил, что не помнит, почему он выбрал именно это название и утверждает, что было бы более правильным называть её «формой Картана»[1].

Определение

Рассмотрим алгебру Ли над полем . Каждый элемент из определяет эндоморфизм

где скобка Ли. Предположим, что имеет конечную размерность. Тогда след композиции таких эндоморфизмов определяет симметричную билинейную форму

со значениями в . Эта форма и называется формой Киллинга на .

Свойства

  • Форма Киллинга является билинейной и симметричной.
  • Форма Киллинга является инвариантной формой, то есть
где скобка Ли.
  • Если является простой алгеброй Ли, то любая инвариантная симметричная билинейная форма на пропорциональна форме Киллинга.
  • Форма Киллинга также инвариантна относительно автоморфизмов алгебры Ли, то есть
где .
  • В частности, левоинвариантное поле форм на соответствующей группе Ли, совпадающее с в единице, является также правоинвариантным, и значит биинвариантным.
  • Критерий Картана гласит, что алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда форма Киллинга является невырожденной.
  • Форма Киллинга нильпотентной алгебры является тождественным нулем.
  • Если  и — два идеала в алгебре Ли с нулевым пересечением, тогда и   образуют ортогональные подпространства по отношению к форме Киллинга.
  • Ортогональное дополнение относительно идеала по отношению к форме Киллинга также является идеалом.
  • Если алгебра Ли является прямой суммой своих идеалов, то её форма Киллинга является прямой суммой форм Киллинга на отдельных слагаемых.

См. также

Примечания

  1. Borel, Armand. Essays in the history of Lie groups and algebraic groups. — American Mathematical Society and the London Mathematical Society, 2001. — Vol. 21. — (History of Mathematics).

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .




Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии