Формулировка
Пусть
для
— коммутирующие переменные и
— поляризационный оператор:
-
.
Тождество Капелли утверждает, что следующие дифференциальные операторы, выраженные как определители, равны:
-
Обе стороны этого равенства — дифференциальные операторы. Определитель в левой части имеет некоммутирующие элементы, и при разложении сохраняет порядок своих множителей слева направо. Такой определитель часто называют определителем по столбцам[неизвестный термин], так как он может быть получен за счет разложения определителя по столбцам, начиная с первого столбца. Это может быть формально записано как
-
где в произведении первыми идут элементы из первого столбца, затем из второй и так далее. Определитель во втором множителе правой части равенства есть Омега процесс Кэли[en], а в первом — определитель Капелли.
Операторы Eij могут быть записаны в матричной форме:
-
где
— матрицы с элементами Eij, xij,
соответственно. Если все элементы в этих матрицах коммутирующие, тогда очевидно
. Тождество Капелли показывает, что, несмотря на некоммутируемость формуле выше можно придать смысл. Цена некоммутируемости — небольшая поправка:
в левой части равенства. В общем случае для некоммутирующих матриц такие формулы, как
-
не существуют, и само понятие определитель не имеет смысла. Именно поэтому тождество Капелли все ещё несколько загадочно, несмотря на многочисленные его доказательства. По-видимому, очень короткого доказательства не существует. Проверка тождества на прямую может быть сделано в качестве относительно несложного упражнения для n = 2, но уже для n = 3 прямая проверка будет слишком длиной.
Связь теории представлений
При рассмотрении общей ситуации предположим, что
и
два целых числа и
для
, коммутирующие переменные. Переопределим
почти так же, как раньше:
-
,
с той лишь разницей, что индекс суммирования
пробегает значения от
до
. Легко видеть, что такие коммутаторы этих операторов удовлетворяют следующим соотношениям:
-
.
Здесь
означает коммутатор
. Это те же соотношения, которые выполняются для матриц
, в которых стоят нули всюду, кроме позиции
, где находится 1. (Такие матрицы
иногда называется матричными единицами). Отсюда заключаем, что отображение
определяет Представление алгебры Ли
в векторном пространстве многочленов от
.
Случай m = 1 и представление Sk Cn
При рассмотрении частного случая m = 1 имеем xi1, который будем сокращённо записывать как xi:
-
В частности, для многочленов первой степени видно, что:
-
.
Поэтому действие
ограничивается пространством многочленов первой степени точно так же, как действие матричных единиц
на векторах в
. Таким образом, с точки зрения теории представления, подпространство многочленов первой степени это подпредставление алгебры Ли
, которое мы отождествляем с стандартным представлением в
. Далее видно, что дифференциальные операторы
сохраняют степень многочленов, и следовательно многочлены каждой фиксированной степени образуют подпредставление алгебры Ли
. Видно также, что пространство однородных многочленов степени k может быть определено симметричным тензором степени
стандартного представления
.
Также может быть определена структура максимального веса[en] этих представлений. Одночлен
— это вектор максимального веса[en]. Действительно,
для i < j. Его максимальный вес равен (k, 0, … ,0), потому что
.
Это представление иногда называют бозонным преставлением
. Аналогичные формулы
определяют так называемое фермионное представление, где
—антикоммутативные переменные. Снова, многочлены степени k образуют неприводимое подпредставление, изоморфное
, то есть антисимметричный тензор степени
. Максимальный вес такого представления (0, …, 0, 1, 0, …, 0). Эти представления при k = 1, …, n являются фундаментальными представлениями
.
Тождество Капелли для m = 1
Вернёмся к тождеству Капелли. Можно доказать следующее:
-
.
Основная мотивация для этого равенства следующая: рассмотрим
для некоторых коммутирующий переменных
. Матрица
имеет ранг 1 и, следовательно, её определитель равен нулю. Элементы матрицы
определены аналогичными формулами, однако, её элементы не коммутируют. Тождество Капелли показывает, что коммутативное тождество
может быть сохранено при введении поправок
к матрице
.
Отметим также, что подобное тождество для характеристического многочлена:
-
где
. Это некоммутативный аналог простого факта, что характеристический многочлен матрицы ранга 1 содержит только первые и вторые коэффициенты.
Рассмотрим пример для n = 2.
-
Используя
-
мы видим что это равно:
-
Универсальная обёртывающая алгебра
и её центр
Интересным свойством определителя Капелли является то, что он коммутирует со всеми операторами Eij, то есть, коммутаторы
равны нулю.
Это утверждение может быть обобщено следующим образом.
Рассмотрим любые элементы Eij в любом кольце, удовлетворяющие соотношению на коммутатор
, (например, они могут быть дифференциальными операторами, как указано выше, матричными единицами eij или любыми другими элементами). Определим элементы Ck следующим образом:
-
где
тогда:
- элементы Ck коммутируют со всем элементами Eij
- элементы Ck могут быть представлены формулами, аналогичным коммутативному случаю:
-
то есть они являются суммами главных миноров матрицы E, по модулю поправок Капелли
. В частности, элемент C0 является определителем Капелли, рассмотренным выше.
Эти утверждения взаимосвязаны с тождеством Капелли, как будет показано ниже, и судя по всему, для них также не существует прямого короткого доказательства, несмотря на простоту формулировок.
Универсальная обёртывающая алгебра
может быть определена как алгебра, генерируемая Eij связанными только соотношениями
-
.
Утверждение выше показывает, что элементы Ck принадлежат центру
. Более того можно доказать, что они — свободные генераторы центра
. Иногда они называются генераторами Капелли. Тождества Капелли для них будут рассмотрены ниже.
Рассмотрим пример при n = 2.
-
Непосредственно проверяется, что элемент
коммутирует с
. (Это соответствует очевидному факту, что матрица тождества коммутирует со всеми другими матрицами). Более поучительной является проверка коммутативности второго элемента с
. Проведём её для
:
-
-
-
-
Мы видим, что наивный определитель
не коммутирует с
и поправка Капелли
существенна для принадлежности центру.
Произвольное m и дуальные пары
Вернемся к общему случаю:
-
для произвольных n и m. Определение операторов Eij можно записать в матричном виде:
, где
это
матрица с элементами
;
это
матрица с элементами
;
это
матрица с элементами
.
Тождества Капелли-Коши-Бине
Для произвольного m матрица E является произведением двух прямоугольных матриц: X и транспонированой к D. Если бы все элементы этих матриц коммутировали бы, тогда определитель матрицы E может быть выражен так называемой формулой Бине — Коши] через миноры X и D. Аналогичная формула существует и для матрицы E снова за небольшую плату введения поправки
:
-
,
В частности (подобно коммутативному случаю): если m<n, то
; в случае m=n мы возвращаемся к тождеству выше.
Заметим, что подобно коммутативному случаю, можно выразить не только определитель чE, но и его миноры через миноры X и D:
-
,
Здесь K = (k1 < k2 < … < ks), L = (l1 < l2 < … < ls) — произвольные мульти-индексы; как обычно
обозначает подматрицу M образуемую элементами M kalb. Обратите внимание, что поправка Капелли теперь содержит s, а не n как в предыдущей формуле. Заметим, что для s=1, поправка(s − i) исчезает и мы получаем просто определение E как произведение X и транспозиции D. Заметим также, что для произвольных K, L соответствующие миноры не коммутируют со всеми элементами Eij, так что тождество Капелли существует не только для центральных элементов.
В качестве следствия из этой формулы и формулы для характеристичного многочлена из предыдущего раздела упомянем следующее:
-
где
. Эта формула аналогична коммутативному случаю, за исключением поправки
в левой части и замены tn на t[n] в правой.
Соотношение с дуальными парами
Современный интерес к этим группам возник, благодаря Роджеру Хоуву[en], который рассмотрел их в своей теории дуальных пар[en]. В случае первого ознакомления с этими идеями имеем дело с операторами
. Такие операторы сохраняют степень многочленов. Рассмотрим многочлены первой степени:
, мы видим что индекс l сохраняется. С точки зрения теории представлений многочлены первой степени могут быть отождествлены с прямым сложением представлений
, здесь l-ое подпространство (l=1…m) натянуто на
, i = 1, …, n. Посмотрим ещё раз на векторное пространство:
-
Такая точка зрения даёт первый намёк на симметрию между m и n. Чтобы взглянуть на эту идею глубже, рассмотрим:
-
Эти операторы задаются теми же формулами, что и
за исключением перенумерации
, следовательно, по тем же самыми аргументами, мы можем заключить, что
задаёт представление алгебры Ли
в векторном пространстве многочленов xij. Прежде, чем идти дальше, обратим внимание на следующее свойство: дифференциальные операторы
коммутируют с дифференциальными операторами
.
Группа Ли
действует на векторном пространстве
естественным образом. Можно показать, что соответствующее действие алгебры Ли
задается дифференциальными операторами
и
соответственно. Это объясняет коммутативность этих операторов.
Более того, справедливы следующие свойства:
- Дифференциальными операторами, коммутирующими с
, являются все многочлены в
, и только они.
- Разложение векторного пространства многочленов в прямую сумму тензорных произведений неприводимых представлений
and
может быть задано следующим образом:
-
Здесь слагаемые индексируются диаграммой Юнга D, а представления
взаимно неизоморфны. Диаграмма
определяет
и наоборот.
- В частности представление большой группы
такого, что каждое неприводимое представление входит только один раз.
Легко заметить сильное сходство с дуальностью Шура-Вейла[en]
Обобщения
Обобщению тождества Капелли посвятили свои работы ряд физиков и математиков, среди них: Р. Хоув, Б. Констант[1][2], филдсовский медалист А. Окуньков[3][4], А. Сокал,[5] Д. Зеильбергер.[6]
Предположительно, первые обобщения были получены Гербертом Вестреном Тарнбуллом ещё в 1948 году,[7] который нашёл обобщение для случая симметричных матриц (см. современный обзор в[5][6]).
Остальные обобщения могут быть разделены на несколько групп. Большинство из них основаны на точке зрения алгебры Ли. Такие обобщения состоят из замены алгебры Ли
на полупростую группу Ли[8] и их супералгебру[en][9][10] квантовую группу,[11][12] и последующие развитие такого подхода[13]. Также тождество может быть обобщено для других дуальных пар.[14][15] И, наконец, можно рассматривать не только определитель матрицы E, но его перманент[16] след его степеней и иммананты.[3][4][17][18] Упомянем ещё несколько работ[уточнить]:[19][20][21][22][23][24][25]. Считалось в течение долгого времени, что тождество глубоко связано с полупростой группой Ли. Однако новое чисто алгебраическое обобщение тождества, которое было найдено в 2008[5] С. Карасиолло, А. Спортиелло, А. Сокалем, не имеет отношения к алгебре Ли.
Тождество Тёрнбулла для симметричных матриц
Рассмотрим симметричные матрицы
-
Герберт Тёрнбулл[7] в 1948 году открыл следующее равенство:
-
Комбинаторное доказательство можно найти в работе,[6] ещё одно доказательство и интересные[уточнить] обобщения в работе,[5] см. также обсуждение ниже.
Тождество Хоув-Умеда-Констант-Сахи для антисимметричных матриц
Рассмотрим антисимметричные матрицы
-
Тогда
-
Тождество Карасиолло — Спортиелло — Сокала для матриц Манина
Рассмотрим две матрицы М и Y над некоторым ассоциативным кольцом, которые удовлетворяет условию
-
для некоторых элементов Qil. Иными словами элементы в j-ой столбце M коммутирует с элементами k-го ряда Y когда
, а в случае, когда
, коммутатор элементов Mik и Ykl зависит только от i, l, но не от k.
Предположим, что M это матрица Манина[en] (простейшим примером является матрица с коммутирующими элементами).
Тогда для случая квадратной матрицы
-
Здесь Q это матрица с элементами Qil, и diag(n − 1, n − 2, …, 1, 0) означает диагональную матрицу с элементами n − 1, n − 2, …, 1, 0 на диагонали.
См.[5] предложение 1.2' формула (1.15) стр. 4, наша Y это транспозиция к их B.
Очевидно, оригинальное тождество Каппели — частный случай этого тождества. Кроме того, из этого тождества видно, что в первоначальном тождестве Каппели можно рассмотреть элементы
-
для произвольных функций fij и тождество продолжает оставаться верным.
Тождество Мухина — Тарасова — Варченко и модель Годена
Формулировка
Рассмотрим матрицы X и D как в тождестве Капелли, то есть с элементами
и
на позиции (ij).
Пусть z — другая формальная переменная (коммутирующая с x). Пусть A и B — некоторые матрицы, элементы которых комплексные числа.
-
-
-
Здесь первый определитель следует понимать, как всегда, как определитель по столбцам матрицы с некоммутативными записями. Второй определитель должен быть вычислен, помещающая (как будто все элементы коммутативны) все x и z слева, а все дифференцирования справа (такой рецепт называется нормальным порядком[en]* в квантовой механике).
Квантовая интегрируемая система Годена и теорема Талалаева
Матрица
-
это матрица Лакса[en] для квантовой интегрируемой системы спиновая цепочка[неизвестный термин] Годена. Д. Талалаев решил давнюю проблему явного решения для полного набора законов сохранения квантового коммутирования в модели Годена, открыв следующую теорему.
Положим
-
Тогда для всех i, j, z, w
-
то есть Hi(z) генерируют функции от z для дифференциальных операторов от x, которые все коммутируют. Так что они дают законы сохранения квантового коммутирования в модели Годена.
Перманенты, иммананты, след матрицы — «более высокие тождества Капелли»
Оригинальное тождество Капелли является утверждением об определителях. Позже аналогичные тождества были найдены для перманентов, имманентов и следа матрицы.
Основанная на комбинаторном подходе, статья С. Г. Уильямсона[26]
была один из первых результатов в этом направлении.
Тождество Тёрнбулла для перманент антисимметричных матриц
Рассмотрим антисимметричные матрицы X и D с элементами xij и соответствующими производными, как в случае Хоув-Умеда-Констант-Сахи выше[⇨].
Тогда
-
Процитируем:[6] «…говорится без доказательства в конце работы Тёрнбулла». Сами авторы следуют Тёрнбуллу — в самом конце их
работы они пишут:
«Так как доказательство этого последнего тождества очень похоже на доказательства симметричного аналога Тёрнбулла (с небольшим отклонением), мы оставляем его в качестве поучительного и приятного упражнения для читателя».
Это равенство анализируется в работе[27].