Экспонента матрицы — матричная функция от квадратной матрицы, аналогичная обычной экспоненциальной функции. Матричная экспонента устанавливает связь между алгеброй Ли матриц и соответствующий группой Ли.
Для вещественной или комплексной матрицы размера экспонента от , обозначаемая как или , — это матрица , определяемая степенным рядом:
где — k-я степень матрицы . Данный ряд всегда сходится, так что экспонента от всегда корректно определена.
Если — матрица размера , то матричная экспонента от есть матрица размерности , единственный элемент которой равен обычной экспоненте от единственного элемента .
Для комплексных матриц и размера , произвольных комплексных чисел и , единичной матрицы и нулевой матрицы , экспонента обладает следующим свойствами:
Одна из причин, обуславливающих важность матричной экспоненты, заключается в том, что она может быть использована для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений[1]. Решение системы:
где — постоянная матрица, даётся выражением:
Матричная экспонента может быть также использована для решения неоднородных уравнений вида
Не существует замкнутого аналитического выражения для решений неавтономных дифференциальных уравнений вида
где — не постоянная, но разложение Магнуса[en] позволяет получить представление решения в виде бесконечной суммы.
Для любых двух вещественных чисел (скаляров) и экспоненциальная функция удовлетворяет уравнению , это же свойство имеет место для симметричных матриц — если матрицы и коммутируют (то есть ), то . Однако, для некоммутирующих матриц это равенство выполняется не всегда, в общем случае для вычисления используется формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа[en].
В общем случае из равенства не следует, что и коммутируют.
Для эрмитовых матриц существует две примечательные теоремы, связанные со следом экспонент матриц.
Если и — эрмитовы матрицы, то[2]:
где — след матрицы . Коммутативность для выполнения данного утверждения не требуется. Существуют контрпримеры, которые показывают, что неравенство Голдена — Томпсона не может быть расширено на три матрицы, а не всегда является вещественным числом для эрмитовых матриц , и .
Теорема Либа, названная по имени Эллиотта Либа[en], гласит, что для фиксированной эрмитовой матрицы , функция:
является вогнутой на конусе положительно-определённых матриц[3].
Экспонента матрицы всегда является невырожденной матрицей. Обратная к матрица равна , это аналог того факта, что экспонента от комплексного числа никогда не равна нулю. Таким образом, матричная экспонента определяет отображение:
из пространства всех матриц размерности на полную линейную группу порядка , то есть группу всех невырожденных матриц размерности . Это отображение является сюръекцией, то есть каждая невырожденная матрица может быть записана как экспонента от некоторой другой матрицы (чтобы это имело место необходимо рассматривать поле комплексных чисел , а не вещественных чисел ).
Для любых двух матриц и имеет место неравенство
где обозначает произвольную матричную норму. Отсюда следует, что экспоненциальное отображение является непрерывным и липшицевым на компактных подмножествах .
Отображение:
определяет гладкую кривую в полной линейной группе, которая проходит через единичный элемент при .
Для системы:
её матрица есть:
Можно показать, что экспонента от матрицы есть
таким образом, общее решение этой системы есть:
Для решения неоднородной системы:
вводятся обозначения:
и
Так как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения дают общее решение неоднородного уравнения, остаётся лишь найти частное решение. Так как:
где — начальное условие.
В случае неоднородной системы можно использовать метод вариации произвольной постоянной. Ищется частное решение в виде: :
Чтобы было решением, должно иметь место следующее:
Таким образом:
где определяется из начальных условий задачи.
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .