WikiSort.ru - Музыка

Трёхмерная сфера, или трёхмерная гиперсфера, иногда 3-сфера, — трёхмерный аналог двумерной сферы. Состоит из множества точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки в четырёхмерном евклидовом пространстве. Так же, как двумерная сфера, которая образует границу шара в трёх измерениях, 3-сфера имеет три измерения и является границей четырёхмерного шара.

Уравнение

В декартовых координатах ${\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})}$ трёхмерная сфера радиуса ${\displaystyle r}$ может быть задана уравнением:

${\displaystyle (x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}}$ .

Рассматривая комплексное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ как вещественное ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ , уравнение сферы может быть рассмотрено как:

${\displaystyle S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1\right\}}$ .

Аналогично, в пространстве кватернионов ${\displaystyle \mathbb {H} ^{1}}$ :

${\displaystyle S^{3}=\left\{q\in \mathbb {H} :||q||=1\right\}}$ .

Являясь трёхмерным многообразием, трёхмерная сфера может быть задана параметрически с использованием трёх координат. Примером являются гиперсферические координаты:

${\displaystyle x_{0}=r\cos \psi \ }$

${\displaystyle x_{1}=r\sin \psi \cos \theta \ }$

${\displaystyle x_{2}=r\sin \psi \sin \theta \cos \phi \ }$

${\displaystyle x_{3}=r\sin \psi \sin \theta \sin \phi \ }$

Свойства

Трёхмерная сфера ${\displaystyle S^{3}}$ является границей четырёхмерного шара.

Трёхмерная сфера является компактным связным трёхмерным многообразием. Трёхмерная сфера односвязна, то есть любая замкнутая кривая на неё может быть непрерывно стянута в точку.

Трёхмерная сфера гомеоморфна одноточечной компактификации трёхмерного вещественного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Групповая структура

Являясь множеством единичных кватернионов, трёхмерная сфера наследует групповую структуру.

Таким образом, сфера ${\displaystyle S^{3}}$ является группой Ли. Среди ${\displaystyle n}$ -мерных сфер таким свойством обладают только ${\displaystyle S^{1}}$ и ${\displaystyle S^{3}}$ .

Используя матричное представление кватернионов, можно определить представление группы ${\displaystyle S^{3}}$ с помощью матриц Паули:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapsto {\begin{pmatrix}\;\;\,x_{1}+ix_{2}&x_{3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatrix}}.}$

Поэтому группа ${\displaystyle S^{3}}$ изоморфна матричной группе Ли ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ .

Действие группы U(1) и расслоение Хопфа

Если определить действие группы ${\displaystyle U(1)}$ :

${\displaystyle (z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad \forall \lambda \in \mathbb {U} (1)}$ ,

то пространство орбит гомеоморфно двумерной сфере ${\displaystyle {S}^{2}}$ . При этом на сфере ${\displaystyle {S}^{3}}$ возникает структура расслоения с базой ${\displaystyle {S}^{2}}$ и слоями, гомеоморфными U(1), то есть окружности ${\displaystyle {S}^{1}}$ . Это расслоение называется расслоением Хопфа.^[1]

Расслоение Хопфа является примером нетривиального главного расслоения. В координатах оно задаётся формулой:

${\displaystyle p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2})}$ .

Точка (z₁, z₂) сферы ${\displaystyle S^{3}}$ отображается в точку [z₁: z₂] комплексной проективной прямой CP¹, которая диффеоморфна двумерной сфере ${\displaystyle S^{2}}$ .

Гомотопические группы сферы

Односвязность сферы означает, что первая гомотопическая группа ${\displaystyle \pi _{1}(S^{3})=\{0\}}$ . Также нулевой является группа ${\displaystyle \pi _{2}(S^{3})=\{0\}}$ .

Примечания

См. также

• Гипотеза Пуанкаре

Литература

• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М., 1989.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Hypersphere (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Примечание: В данной статье используются альтернативные схемы именования для сфер, в которых сфера в N-мерном пространстве называется N-сферой. (англ.)