WikiSort.ru - Музыка

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Тождество Капелли — аналог матричного соотношения $\mathrm {det} (AB)=\mathrm {det} (A)\,\mathrm {det} (B)$ для дифференциальных операторов с некоммутирующими элементами, связанных с представлением алгебры Ли ${\mathfrak {gl}}_{n}$ . Используется для соотнесения инварианта ${\mathsf {f}}$ с инвариантом $\Omega {\mathsf {f}}$ , где $\Omega$ — это $\Omega$ -процесс Кэли^[en]. Названо по имени Альфредо Капелли, установившего этот результат в 1887 году.

Формулировка

Пусть $x_{ij}$ для $i,j=1,\dots ,n$ — коммутирующие переменные и $E$ — поляризационный оператор:

E_{ij}=\sum _{a=1}^{n}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}}

.

Тождество Капелли утверждает, что следующие дифференциальные операторы, выраженные как определители, равны:

{\begin{vmatrix}E_{11}+n-1&\cdots &E_{1,n-1}&E_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\E_{n-1,1}&\cdots &E_{n-1,n-1}+1&E_{n-1,n}\\E_{n1}&\cdots &E_{n,n-1}&E_{nn}+0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x_{11}&\cdots &x_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n1}&\cdots &x_{nn}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{n1}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}.

Обе стороны этого равенства — дифференциальные операторы. Определитель в левой части имеет некоммутирующие элементы, и при разложении сохраняет порядок своих множителей слева направо. Такой определитель часто называют определителем по столбцам^{[неизвестный термин]}, так как он может быть получен за счет разложения определителя по столбцам, начиная с первого столбца. Это может быть формально записано как

\det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\sigma (1),1}A_{\sigma (2),2}\cdots A_{\sigma (n),n},

где в произведении первыми идут элементы из первого столбца, затем из второй и так далее. Определитель во втором множителе правой части равенства есть Омега процесс Кэли^[en], а в первом — определитель Капелли.

Операторы E_ij могут быть записаны в матричной форме:

E=XD^{t},

где $E,X,D$ — матрицы с элементами E_ij, x_ij, ${\frac {\partial }{\partial x_{ij}}}$ соответственно. Если все элементы в этих матрицах коммутирующие, тогда очевидно $\det(E)=\det(X)\det(D^{t})$ . Тождество Капелли показывает, что, несмотря на некоммутируемость формуле выше можно придать смысл. Цена некоммутируемости — небольшая поправка: $(n-i)\delta _{ij}$ в левой части равенства. В общем случае для некоммутирующих матриц такие формулы, как

\det(AB)=\det(A)\det(B)

не существуют, и само понятие определитель не имеет смысла. Именно поэтому тождество Капелли все ещё несколько загадочно, несмотря на многочисленные его доказательства. По-видимому, очень короткого доказательства не существует. Проверка тождества на прямую может быть сделано в качестве относительно несложного упражнения для n = 2, но уже для n = 3 прямая проверка будет слишком длиной.

Связь теории представлений

При рассмотрении общей ситуации предположим, что $n$ и $m$ два целых числа и $x_{ij}$ для $i=1,\dots ,n,\ j=1,\dots ,m$ , коммутирующие переменные. Переопределим $E_{ij}$ почти так же, как раньше:

E_{ij}=\sum _{a=1}^{m}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}}

,

с той лишь разницей, что индекс суммирования $a$ пробегает значения от $1$ до $m$ . Легко видеть, что такие коммутаторы этих операторов удовлетворяют следующим соотношениям:

[E_{ij},E_{kl}]=\delta _{jk}E_{il}-\delta _{il}E_{kj}

.

Здесь $[a,b]$ означает коммутатор $ab-ba$ . Это те же соотношения, которые выполняются для матриц $e_{ij}$ , в которых стоят нули всюду, кроме позиции $(i,j)$ , где находится 1. (Такие матрицы $e_{ij}$ иногда называется матричными единицами). Отсюда заключаем, что отображение $\pi :e_{ij}\mapsto E_{ij}$ определяет Представление алгебры Ли ${\mathfrak {gl}}_{n}$ в векторном пространстве многочленов от $x_{ij}$ .

Случай m = 1 и представление S^k Cⁿ

При рассмотрении частного случая m = 1 имеем x_i1, который будем сокращённо записывать как x_i:

E_{ij}=x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}.

В частности, для многочленов первой степени видно, что:

E_{ij}x_{k}=\delta _{jk}x_{i}

.

Поэтому действие $E_{ij}$ ограничивается пространством многочленов первой степени точно так же, как действие матричных единиц $e_{ij}$ на векторах в $\mathbb {C} ^{n}$ . Таким образом, с точки зрения теории представления, подпространство многочленов первой степени это подпредставление алгебры Ли ${\mathfrak {gl}}_{n}$ , которое мы отождествляем с стандартным представлением в $\mathbb {C} ^{n}$ . Далее видно, что дифференциальные операторы $E_{ij}$ сохраняют степень многочленов, и следовательно многочлены каждой фиксированной степени образуют подпредставление алгебры Ли ${\mathfrak {gl}}_{n}$ . Видно также, что пространство однородных многочленов степени k может быть определено симметричным тензором степени $S^{k}\mathbb {C} ^{n}$ стандартного представления $\mathbb {C} ^{n}$ .

Также может быть определена структура максимального веса^[en] этих представлений. Одночлен $x_{1}^{k}$ — это вектор максимального веса^[en]. Действительно, $E_{ij}x_{1}^{k}=0$ для i < j. Его максимальный вес равен (k, 0, … ,0), потому что $E_{ii}x_{1}^{k}=k\delta _{i1}x_{1}^{k}$ .

Это представление иногда называют бозонным преставлением ${\mathfrak {gl}}_{n}$ . Аналогичные формулы $E_{ij}=\psi _{i}{\frac {\partial }{\partial \psi _{j}}}$ определяют так называемое фермионное представление, где $\psi _{i}$ —антикоммутативные переменные. Снова, многочлены степени k образуют неприводимое подпредставление, изоморфное $\Lambda ^{k}\mathbb {C} ^{n}$ , то есть антисимметричный тензор степени $\mathbb {C} ^{n}$ . Максимальный вес такого представления (0, …, 0, 1, 0, …, 0). Эти представления при k = 1, …, n являются фундаментальными представлениями ${\mathfrak {gl}}_{n}$ .

Тождество Капелли для m = 1

Вернёмся к тождеству Капелли. Можно доказать следующее:

\det(E+(n-i)\delta _{ij})=0,\qquad n>1

.

Основная мотивация для этого равенства следующая: рассмотрим $E_{ij}^{c}=x_{i}p_{j}$ для некоторых коммутирующий переменных $x_{i},p_{j}$ . Матрица $E^{c}$ имеет ранг 1 и, следовательно, её определитель равен нулю. Элементы матрицы $E$ определены аналогичными формулами, однако, её элементы не коммутируют. Тождество Капелли показывает, что коммутативное тождество $\det(E^{c})=0$ может быть сохранено при введении поправок $(n-i)\delta _{ij}$ к матрице $E$ .

Отметим также, что подобное тождество для характеристического многочлена:

\det(t+E+(n-i)\delta _{ij})=t^{[n]}+\mathrm {Tr} (E)t^{[n-1]},

где $t^{[k]}=t(t+1)\cdots (t+k-1)$ . Это некоммутативный аналог простого факта, что характеристический многочлен матрицы ранга 1 содержит только первые и вторые коэффициенты.

Рассмотрим пример для n = 2.

{\begin{aligned}&{\begin{vmatrix}t+E_{11}+1&E_{12}\\E_{21}&t+E_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}t+x_{1}\partial _{1}+1&x_{1}\partial _{2}\\x_{2}\partial _{1}&t+x_{2}\partial _{2}\end{vmatrix}}\\[8pt]&=(t+x_{1}\partial _{1}+1)(t+x_{2}\partial _{2})-x_{2}\partial _{1}x_{1}\partial _{2}\\[6pt]&=t(t+1)+t(x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})+x_{1}\partial _{1}x_{2}\partial _{2}+x_{2}\partial _{2}-x_{2}\partial _{1}x_{1}\partial _{2}\end{aligned}}

Используя

\partial _{1}x_{1}=x_{1}\partial _{1}+1,\partial _{1}x_{2}=x_{2}\partial _{1},x_{1}x_{2}=x_{2}x_{1}

мы видим что это равно:

{\begin{aligned}&{}\quad t(t+1)+t(x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})+x_{2}x_{1}\partial _{1}\partial _{2}+x_{2}\partial _{2}-x_{2}x_{1}\partial _{1}\partial _{2}-x_{2}\partial _{2}\\[8pt]&=t(t+1)+t(x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})=t^{[2]}+t\,\mathrm {Tr} (E).\end{aligned}}

Универсальная обёртывающая алгебра $U({\mathfrak {gl}}_{n})$ и её центр

Интересным свойством определителя Капелли является то, что он коммутирует со всеми операторами E_ij, то есть, коммутаторы $[E_{ij},\det(E+(n-i)\delta _{ij})]$ равны нулю.

Это утверждение может быть обобщено следующим образом. Рассмотрим любые элементы E_ij в любом кольце, удовлетворяющие соотношению на коммутатор $[E_{ij},E_{kl}]=\delta _{jk}E_{il}-\delta _{il}E_{kj}$ , (например, они могут быть дифференциальными операторами, как указано выше, матричными единицами e_ij или любыми другими элементами). Определим элементы C_k следующим образом:

\det(t+E+(n-i)\delta _{ij})=t^{[n]}+\sum _{k=n-1,\dots ,0}t^{[k]}C_{k},

где $t^{[k]}=t(t+1)\cdots (t+k-1),$

тогда:

элементы C_k коммутируют со всем элементами E_ij
элементы C_k могут быть представлены формулами, аналогичным коммутативному случаю:

C_{k}=\sum _{I=(i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k})}\det(E+(k-i)\delta _{ij})_{II},

то есть они являются суммами главных миноров матрицы E, по модулю поправок Капелли $+(k-i)\delta _{ij}$ . В частности, элемент C₀ является определителем Капелли, рассмотренным выше.

Эти утверждения взаимосвязаны с тождеством Капелли, как будет показано ниже, и судя по всему, для них также не существует прямого короткого доказательства, несмотря на простоту формулировок.

Универсальная обёртывающая алгебра $U({\mathfrak {gl}}_{n})$ может быть определена как алгебра, генерируемая E_ij связанными только соотношениями

[E_{ij},E_{kl}]=\delta _{jk}E_{il}-\delta _{il}E_{kj}

.

Утверждение выше показывает, что элементы C_k принадлежат центру $U({\mathfrak {gl}}_{n})$ . Более того можно доказать, что они — свободные генераторы центра $U({\mathfrak {gl}}_{n})$ . Иногда они называются генераторами Капелли. Тождества Капелли для них будут рассмотрены ниже.

Рассмотрим пример при n = 2.

{\begin{aligned}{}\quad {\begin{vmatrix}t+E_{11}+1&E_{12}\\E_{21}&t+E_{22}\end{vmatrix}}&=(t+E_{11}+1)(t+E_{22})-E_{21}E_{12}\\&=t(t+1)+t(E_{11}+E_{22})+E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}.\end{aligned}}

Непосредственно проверяется, что элемент $(E_{11}+E_{22})$ коммутирует с $E_{ij}$ . (Это соответствует очевидному факту, что матрица тождества коммутирует со всеми другими матрицами). Более поучительной является проверка коммутативности второго элемента с $E_{ij}$ . Проведём её для $E_{12}$ :

[E_{12},E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}]

=[E_{12},E_{11}]E_{22}+E_{11}[E_{12},E_{22}]-[E_{12},E_{21}]E_{12}-E_{21}[E_{12},E_{12}]+[E_{12},E_{22}]

=-E_{12}E_{22}+E_{11}E_{12}-(E_{11}-E_{22})E_{12}-0+E_{12}

=-E_{12}E_{22}+E_{22}E_{12}+E_{12}=-E_{12}+E_{12}=0.

Мы видим, что наивный определитель $E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}$ не коммутирует с $E_{12}$ и поправка Капелли $+E_{22}$ существенна для принадлежности центру.

Произвольное m и дуальные пары

Вернемся к общему случаю:

E_{ij}=\sum _{a=1}^{m}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}},

для произвольных n и m. Определение операторов E_ij можно записать в матричном виде: $E=XD^{t}$ , где $E$ это $n\times n$ матрица с элементами $E_{ij}$ ; $X$ это $n\times m$ матрица с элементами $x_{ij}$ ; $D$ это $n\times m$ матрица с элементами ${\frac {\partial }{\partial x_{ij}}}$ .

Тождества Капелли-Коши-Бине

Для произвольного m матрица E является произведением двух прямоугольных матриц: X и транспонированой к D. Если бы все элементы этих матриц коммутировали бы, тогда определитель матрицы E может быть выражен так называемой формулой Бине — Коши] через миноры X и D. Аналогичная формула существует и для матрицы E снова за небольшую плату введения поправки $E\rightarrow (E+(n-i)\delta _{ij})$ :

\det(E+(n-i)\delta _{ij})=\sum _{I=(1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}\leq m)}\det(X_{I})\det(D_{I}^{t})

,

В частности (подобно коммутативному случаю): если m<n, то $\det(E+(n-i)\delta _{ij})=0$ ; в случае m=n мы возвращаемся к тождеству выше.

Заметим, что подобно коммутативному случаю, можно выразить не только определитель чE, но и его миноры через миноры X и D:

\det(E+(s-i)\delta _{ij})_{KL}=\sum _{I=(1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{s}\leq m)}\det(X_{KI})\det(D_{IL}^{t})

,

Здесь K = (k₁ < k₂ < … < k_s), L = (l₁ < l₂ < … < l_s) — произвольные мульти-индексы; как обычно $M_{KL}$ обозначает подматрицу M образуемую элементами M_{k_al_b}. Обратите внимание, что поправка Капелли теперь содержит s, а не n как в предыдущей формуле. Заметим, что для s=1, поправка(s − i) исчезает и мы получаем просто определение E как произведение X и транспозиции D. Заметим также, что для произвольных K, L соответствующие миноры не коммутируют со всеми элементами E_ij, так что тождество Капелли существует не только для центральных элементов.

В качестве следствия из этой формулы и формулы для характеристичного многочлена из предыдущего раздела упомянем следующее:

\det(t+E+(n-i)\delta _{ij})=t^{[n]}+\sum _{k=n-1,\dots ,0}t^{[k]}\sum _{I,J}\det(X_{IJ})\det(D_{JI}^{t}),

где $I=(1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n),$ $J=(1\leq j_{1}<\cdots <j_{k}\leq n)$ . Эта формула аналогична коммутативному случаю, за исключением поправки $+(n-i)\delta _{ij}$ в левой части и замены tⁿ на t^[n] в правой.

Соотношение с дуальными парами

Современный интерес к этим группам возник, благодаря Роджеру Хоуву^[en], который рассмотрел их в своей теории дуальных пар^[en]. В случае первого ознакомления с этими идеями имеем дело с операторами $E_{ij}$ . Такие операторы сохраняют степень многочленов. Рассмотрим многочлены первой степени: $E_{ij}x_{kl}=x_{il}\delta _{jk}$ , мы видим что индекс l сохраняется. С точки зрения теории представлений многочлены первой степени могут быть отождествлены с прямым сложением представлений $\mathbb {C} ^{n}\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} ^{n}$ , здесь l-ое подпространство (l=1…m) натянуто на $x_{il}$ , i = 1, …, n. Посмотрим ещё раз на векторное пространство:

\mathbb {C} ^{n}\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}.

Такая точка зрения даёт первый намёк на симметрию между m и n. Чтобы взглянуть на эту идею глубже, рассмотрим:

E_{ij}^{\text{dual}}=\sum _{a=1}^{n}x_{ai}{\frac {\partial }{\partial x_{aj}}}.

Эти операторы задаются теми же формулами, что и $E_{ij}$ за исключением перенумерации $i\leftrightarrow j$ , следовательно, по тем же самыми аргументами, мы можем заключить, что $E_{ij}^{\text{dual}}$ задаёт представление алгебры Ли ${\mathfrak {gl}}_{m}$ в векторном пространстве многочленов x_ij. Прежде, чем идти дальше, обратим внимание на следующее свойство: дифференциальные операторы $E_{ij}^{\text{dual}}$ коммутируют с дифференциальными операторами $E_{kl}$ .

Группа Ли $GL_{n}\times GL_{m}$ действует на векторном пространстве $\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}$ естественным образом. Можно показать, что соответствующее действие алгебры Ли ${\mathfrak {gl}}_{n}\times {\mathfrak {gl}}_{m}$ задается дифференциальными операторами $E_{ij}$ и $E_{ij}^{\text{dual}}$ соответственно. Это объясняет коммутативность этих операторов.

Более того, справедливы следующие свойства:

Дифференциальными операторами, коммутирующими с $E_{ij}$ , являются все многочлены в $E_{ij}^{\text{dual}}$ , и только они.
Разложение векторного пространства многочленов в прямую сумму тензорных произведений неприводимых представлений $GL_{n}$ and $GL_{m}$ может быть задано следующим образом:

\mathbb {C} [x_{ij}]=S(\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m})=\sum _{D}\rho _{n}^{D}\otimes \rho _{m}^{D'}.

Здесь слагаемые индексируются диаграммой Юнга D, а представления $\rho ^{D}$ взаимно неизоморфны. Диаграмма ${D}$ определяет ${D'}$ и наоборот.

В частности представление большой группы $GL_{n}\times GL_{m}$ такого, что каждое неприводимое представление входит только один раз.

Легко заметить сильное сходство с дуальностью Шура-Вейла^[en]

Обобщения

Обобщению тождества Капелли посвятили свои работы ряд физиков и математиков, среди них: Р. Хоув, Б. Констант^[1]^[2], филдсовский медалист А. Окуньков^[3]^[4], А. Сокал,^[5] Д. Зеильбергер.^[6]

Предположительно, первые обобщения были получены Гербертом Вестреном Тарнбуллом ещё в 1948 году,^[7] который нашёл обобщение для случая симметричных матриц (см. современный обзор в^[5]^[6]).

Остальные обобщения могут быть разделены на несколько групп. Большинство из них основаны на точке зрения алгебры Ли. Такие обобщения состоят из замены алгебры Ли ${\mathfrak {gl}}_{n}$ на полупростую группу Ли^[8] и их супералгебру^[en]^[9]^[10] квантовую группу,^[11]^[12] и последующие развитие такого подхода^[13]. Также тождество может быть обобщено для других дуальных пар.^[14]^[15] И, наконец, можно рассматривать не только определитель матрицы E, но его перманент^[16] след его степеней и иммананты.^[3]^[4]^[17]^[18] Упомянем ещё несколько работ^{[уточнить]}:^[19]^[20]^[21]^[22]^[23]^[24]^[25]. Считалось в течение долгого времени, что тождество глубоко связано с полупростой группой Ли. Однако новое чисто алгебраическое обобщение тождества, которое было найдено в 2008^[5] С. Карасиолло, А. Спортиелло, А. Сокалем, не имеет отношения к алгебре Ли.

Тождество Тёрнбулла для симметричных матриц

Рассмотрим симметричные матрицы

X={\begin{vmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}&\cdots &x_{1n}\\x_{12}&x_{22}&x_{23}&\cdots &x_{2n}\\x_{13}&x_{23}&x_{33}&\cdots &x_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1n}&x_{2n}&x_{3n}&\cdots &x_{nn}\end{vmatrix}},D={\begin{vmatrix}2{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\[6pt]{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&2{\frac {\partial }{\partial x_{22}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}\\[6pt]{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&2{\frac {\partial }{\partial x_{33}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}\\[6pt]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}&\cdots &2{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}

Герберт Тёрнбулл^[7] в 1948 году открыл следующее равенство:

\det(XD+(n-i)\delta _{ij})=\det(X)\det(D)

Комбинаторное доказательство можно найти в работе,^[6] ещё одно доказательство и интересные^{[уточнить]} обобщения в работе,^[5] см. также обсуждение ниже.

Тождество Хоув-Умеда-Констант-Сахи для антисимметричных матриц

Рассмотрим антисимметричные матрицы

X={\begin{vmatrix}0&x_{12}&x_{13}&\cdots &x_{1n}\\-x_{12}&0&x_{23}&\cdots &x_{2n}\\-x_{13}&-x_{23}&0&\cdots &x_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-x_{1n}&-x_{2n}&-x_{3n}&\cdots &0\end{vmatrix}},D={\begin{vmatrix}0&{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\[6pt]-{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&0&{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}\\[6pt]-{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&0&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}\\[6pt]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[6pt]-{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}&\cdots &0\end{vmatrix}}.

Тогда

\det(XD+(n-i)\delta _{ij})=\det(X)\det(D).

Тождество Карасиолло — Спортиелло — Сокала для матриц Манина

Рассмотрим две матрицы М и Y над некоторым ассоциативным кольцом, которые удовлетворяет условию

[M_{ij},Y_{kl}]=-\delta _{jk}Q_{il}

для некоторых элементов Q_il. Иными словами элементы в j-ой столбце M коммутирует с элементами k-го ряда Y когда $j\neq k$ , а в случае, когда $j=k$ , коммутатор элементов M_ik и Y_kl зависит только от i, l, но не от k.

Предположим, что M это матрица Манина^[en] (простейшим примером является матрица с коммутирующими элементами).

Тогда для случая квадратной матрицы

\det(MY+Q\,\mathrm {diag} (n-1,n-2,\dots ,1,0))=\det(M)\det(Y)

Здесь Q это матрица с элементами Q_il, и diag(n − 1, n − 2, …, 1, 0) означает диагональную матрицу с элементами n − 1, n − 2, …, 1, 0 на диагонали.

См.^[5] предложение 1.2' формула (1.15) стр. 4, наша Y это транспозиция к их B.

Очевидно, оригинальное тождество Каппели — частный случай этого тождества. Кроме того, из этого тождества видно, что в первоначальном тождестве Каппели можно рассмотреть элементы

{\frac {\partial }{\partial x_{ij}}}+f_{ij}(x_{11},\dots ,x_{kl},\dots )

для произвольных функций f_ij и тождество продолжает оставаться верным.

Тождество Мухина — Тарасова — Варченко и модель Годена

Формулировка

Рассмотрим матрицы X и D как в тождестве Капелли, то есть с элементами $x_{ij}$ и $\partial _{ij}$ на позиции (ij).

Пусть z — другая формальная переменная (коммутирующая с x). Пусть A и B — некоторые матрицы, элементы которых комплексные числа.

\det \left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}-A-X{\frac {1}{z-B}}D^{t}\right)

={\det }_{{\text{Поместить все }}x{\text{ и }}z{\text{ слева, в то время как все дифференцирования справа}}}^{\text{рассчитать, как будто все коммутируют}}

\left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}-A-X{\frac {1}{z-B}}D^{t}\right)

Здесь первый определитель следует понимать, как всегда, как определитель по столбцам матрицы с некоммутативными записями. Второй определитель должен быть вычислен, помещающая (как будто все элементы коммутативны) все x и z слева, а все дифференцирования справа (такой рецепт называется нормальным порядком^[en]^* в квантовой механике).

Квантовая интегрируемая система Годена и теорема Талалаева

Матрица

L(z)=A+X{\frac {1}{z-B}}D^{t}

это матрица Лакса^[en] для квантовой интегрируемой системы спиновая цепочка^{[неизвестный термин]} Годена. Д. Талалаев решил давнюю проблему явного решения для полного набора законов сохранения квантового коммутирования в модели Годена, открыв следующую теорему.

Положим

\det \left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}-L(z)\right)=\sum _{i=0}^{n}H_{i}(z)\left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}\right)^{i}.

Тогда для всех i, j, z, w

[H_{i}(z),H_{j}(w)]=0,

то есть H_i(z) генерируют функции от z для дифференциальных операторов от x, которые все коммутируют. Так что они дают законы сохранения квантового коммутирования в модели Годена.

Перманенты, иммананты, след матрицы — «более высокие тождества Капелли»

Оригинальное тождество Капелли является утверждением об определителях. Позже аналогичные тождества были найдены для перманентов, имманентов и следа матрицы. Основанная на комбинаторном подходе, статья С. Г. Уильямсона^[26] была один из первых результатов в этом направлении.

Тождество Тёрнбулла для перманент антисимметричных матриц

Рассмотрим антисимметричные матрицы X и D с элементами x_ij и соответствующими производными, как в случае Хоув-Умеда-Констант-Сахи выше^[⇨].

Тогда

\mathrm {perm} (X^{t}D-(n-i)\delta _{ij})=\mathrm {perm} _{{\text{Поместить все }}x{\text{ слева, в то время как все дифференцирования справа}}}^{\text{рассчитать, как будто все коммутируют}}(X^{t}D).

Процитируем:^[6] «…говорится без доказательства в конце работы Тёрнбулла». Сами авторы следуют Тёрнбуллу — в самом конце их работы они пишут:

«Так как доказательство этого последнего тождества очень похоже на доказательства симметричного аналога Тёрнбулла (с небольшим отклонением), мы оставляем его в качестве поучительного и приятного упражнения для читателя».

Это равенство анализируется в работе^[27].

Примечания

↑ Kostant, B. & Sahi, S. (1991), "The Capelli Identity, tube domains, and the generalized Laplace transform", Advances in Math. Т. 87: 71–92, DOI 10.1016/0001-8708(91)90062-C
↑ Kostant, B. & Sahi, S. (1993), "Jordan algebras and Capelli identities", Inventiones Mathematicae Т. 112 (1): 71–92, DOI 10.1007/BF01232451
1 2 Okounkov, A. (1996), Quantum Immanants and Higher Capelli Identities
1 2 Okounkov, A. (1996), Young Basis, Wick Formula, and Higher Capelli Identities
1 2 3 4 5 Caracciolo, S.; Sportiello, A. & Sokal, A. (2008), Noncommutative determinants, Cauchy–Binet formulae, and Capelli-type identities. I. Generalizations of the Capelli and Turnbull identities
1 2 3 4 Foata, D. & Zeilberger, D. (1993), Combinatorial Proofs of Capelli's and Turnbull's Identities from Classical Invariant Theory
1 2 Turnbull, Herbert Westren (1948), "Symmetric determinants and the Cayley and Capelli operators", Proc. Edinburgh Math. Soc. Т. 8 (2): 76–86, DOI 10.1017/S0013091500024822
↑ Molev, A. & Nazarov, M. (1997), Capelli Identities for Classical Lie Algebras
↑ Molev, A. (1996), Factorial supersymmetric Schur functions and super Capelli identities
↑ Nazarov, M. (1996), Capelli identities for Lie superalgebras
↑ Noumi, M.; Umeda, T. & Wakayma, M. (1994), "A quantum analogue of the Capelli identity and an elementary differential calculus on GLq(n)", Duke Mathematical Journal Т. 76 (2): 567–594, doi:10.1215/S0012-7094-94-07620-5, <http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077286975>
↑ Noumi, M.; Umeda, T. & Wakayma, M. (1996), "Dual pairs, spherical harmonics and a Capelli identity in quantum group theory", Compositio Mathematica Т. 104 (2): 227–277, <http://www.numdam.org/item?id=CM_1996__104_3_227_0>
↑ Mukhin, E.; Tarasov, V. & Varchenko, A. (2006), A generalization of the Capelli identity
↑ Itoh, M. (2004), "Capelli identities for reductive dual pairs", Advances in Mathematics Т. 194 (2): 345–397, DOI 10.1016/j.aim.2004.06.010
↑ Itoh, M. (2005), "Capelli Identities for the dual pair ( O M, Sp N)", Mathematische Zeitschrift Т. 246 (1–2): 125–154, DOI 10.1007/s00209-003-0591-2
↑ Nazarov, M. (1991), "Quantum Berezinian and the classical Capelli identity", Letters in Mathematical Physics Т. 21 (2): 123–131, DOI 10.1007/BF00401646
↑ Nazarov, M. (1996), Yangians and Capelli identities
↑ Molev, A. (1996), A Remark on the Higher Capelli Identities
↑ Kinoshita, K. & Wakayama, M. (2002), "Explicit Capelli identities for skew symmetric matrices", Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society Т. 45 (2): 449–465, DOI 10.1017/S0013091500001176
↑ Hashimoto, T. (2008), Generating function for GLn-invariant differential operators in the skew Capelli identity
↑ Nishiyama, K. & Wachi, A. (2008), A note on the Capelli identities for symmetric pairs of Hermitian type
↑ Umeda, Toru (2008), "On the proof of the Capelli identities", Funkcialaj Ekvacioj Т. 51 (1): 1–15, DOI 10.1619/fesi.51.1
↑ Brini, A & Teolis, A (1993), "Capelli's theory, Koszul maps, and superalgebras", PNAS Т. 90 (21): 10245–10249, <http://www.pnas.org/content/90/21/10245.short>
↑ Koszul, J (1981), "Les algebres de Lie graduées de type sl (n, 1) et l'opérateur de A. Capelli", C.R. Acad. Sci. Paris (no. 292): 139–141
↑ Orsted, B & Zhang, G (2001), Capelli identity and relative discrete series of line bundles over tube domains, <http://www.math.chalmers.se/Math/Research/Preprints/2001/13.pdf>
↑ Williamson, S. (1981), "Symmetry operators, polarizations, and a generalized Capelli identity", Linear & Multilinear Algebra Т. 10 (2): 93–102, DOI 10.1080/03081088108817399
↑ Umeda, Toru (2000), "On Turnbull identity for skew-symmetric matrices", Proc. Edinburgh Math. Soc. Т. 43 (2): 379–393, DOI 10.1017/S0013091500020988

Ссылки

Capelli, Alfredo (1887), "Ueber die Zurückführung der Cayley'schen Operation Ω auf gewöhnliche Polar-Operationen", Mathematische Annalen (Berlin / Heidelberg: Springer) . — Т. 29 (3): 331–338, ISSN 1432-1807, DOI 10.1007/BF01447728
Howe, Roger (1989), "Remarks on classical invariant theory", Transactions of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) . — Т. 313 (2): 539–570, ISSN 0002-9947, DOI 10.2307/2001418
Howe, Roger & Umeda, Toru (1991), "The Capelli identity, the double commutant theorem, and multiplicity-free actions", Mathematische Annalen Т. 290 (1): 565–619, DOI 10.1007/BF01459261
Umeda, Tôru (1998), "The Capelli identities, a century after", Selected papers on harmonic analysis, groups, and invariants, vol. 183, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., с. 51–78, ISBN 978-0-8218-0840-5, <https://books.google.com/books?isbn=0821808400>
Weyl, Hermann (1946), The Classical Groups: Their Invariants and Representations, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05756-9, <https://books.google.com/?id=zmzKSP2xTtYC>. Проверено 03/2007/26.
Umeda, Toru (2000), "On Turnbull identity for skew-symmetric matrices", Proc. Edinburgh Math. Soc. Т. 43 (2): 379–393, DOI 10.1017/S0013091500020988

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] Kostant, B. & Sahi, S. (1991), "The Capelli Identity, tube domains, and the generalized Laplace transform", Advances in Math. Т. 87: 71–92, DOI 10.1016/0001-8708(91)90062-C

[2] Kostant, B. & Sahi, S. (1993), "Jordan algebras and Capelli identities", Inventiones Mathematicae Т. 112 (1): 71–92, DOI 10.1007/BF01232451

[Okounkov1-3] 1 2 Okounkov, A. (1996), Quantum Immanants and Higher Capelli Identities

[Okounkov2-4] 1 2 Okounkov, A. (1996), Young Basis, Wick Formula, and Higher Capelli Identities

[Sokal-5] 1 2 3 4 5 Caracciolo, S.; Sportiello, A. & Sokal, A. (2008), Noncommutative determinants, Cauchy–Binet formulae, and Capelli-type identities. I. Generalizations of the Capelli and Turnbull identities

[FoataZeilberger-6] 1 2 3 4 Foata, D. & Zeilberger, D. (1993), Combinatorial Proofs of Capelli's and Turnbull's Identities from Classical Invariant Theory

[Turnbull48-7] 1 2 Turnbull, Herbert Westren (1948), "Symmetric determinants and the Cayley and Capelli operators", Proc. Edinburgh Math. Soc. Т. 8 (2): 76–86, DOI 10.1017/S0013091500024822

[8] Molev, A. & Nazarov, M. (1997), Capelli Identities for Classical Lie Algebras

[9] Molev, A. (1996), Factorial supersymmetric Schur functions and super Capelli identities

[10] Nazarov, M. (1996), Capelli identities for Lie superalgebras

[11] Noumi, M.; Umeda, T. & Wakayma, M. (1994), "A quantum analogue of the Capelli identity and an elementary differential calculus on GLq(n)", Duke Mathematical Journal Т. 76 (2): 567–594, doi:10.1215/S0012-7094-94-07620-5, <http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077286975>

[12] Noumi, M.; Umeda, T. & Wakayma, M. (1996), "Dual pairs, spherical harmonics and a Capelli identity in quantum group theory", Compositio Mathematica Т. 104 (2): 227–277, <http://www.numdam.org/item?id=CM_1996__104_3_227_0>

[13] Mukhin, E.; Tarasov, V. & Varchenko, A. (2006), A generalization of the Capelli identity

[14] Itoh, M. (2004), "Capelli identities for reductive dual pairs", Advances in Mathematics Т. 194 (2): 345–397, DOI 10.1016/j.aim.2004.06.010

[15] Itoh, M. (2005), "Capelli Identities for the dual pair ( O M, Sp N)", Mathematische Zeitschrift Т. 246 (1–2): 125–154, DOI 10.1007/s00209-003-0591-2

[16] Nazarov, M. (1991), "Quantum Berezinian and the classical Capelli identity", Letters in Mathematical Physics Т. 21 (2): 123–131, DOI 10.1007/BF00401646

[17] Nazarov, M. (1996), Yangians and Capelli identities

[18] Molev, A. (1996), A Remark on the Higher Capelli Identities

[19] Kinoshita, K. & Wakayama, M. (2002), "Explicit Capelli identities for skew symmetric matrices", Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society Т. 45 (2): 449–465, DOI 10.1017/S0013091500001176

[20] Hashimoto, T. (2008), Generating function for GLn-invariant differential operators in the skew Capelli identity

[21] Nishiyama, K. & Wachi, A. (2008), A note on the Capelli identities for symmetric pairs of Hermitian type

[22] Umeda, Toru (2008), "On the proof of the Capelli identities", Funkcialaj Ekvacioj Т. 51 (1): 1–15, DOI 10.1619/fesi.51.1

[23] Brini, A & Teolis, A (1993), "Capelli's theory, Koszul maps, and superalgebras", PNAS Т. 90 (21): 10245–10249, <http://www.pnas.org/content/90/21/10245.short>

[24] Koszul, J (1981), "Les algebres de Lie graduées de type sl (n, 1) et l'opérateur de A. Capelli", C.R. Acad. Sci. Paris (no. 292): 139–141

[25] Orsted, B & Zhang, G (2001), Capelli identity and relative discrete series of line bundles over tube domains, <http://www.math.chalmers.se/Math/Research/Preprints/2001/13.pdf>

[26] Williamson, S. (1981), "Symmetry operators, polarizations, and a generalized Capelli identity", Linear & Multilinear Algebra Т. 10 (2): 93–102, DOI 10.1080/03081088108817399

[UmedaOnTurnbull-27] Umeda, Toru (2000), "On Turnbull identity for skew-symmetric matrices", Proc. Edinburgh Math. Soc. Т. 43 (2): 379–393, DOI 10.1017/S0013091500020988

WikiSort.ru - Музыка

Формулировка

Связь теории представлений

Случай m = 1 и представление Sk Cn

Тождество Капелли для m = 1

Универсальная обёртывающая алгебра U ( g l n ) {\displaystyle U({\mathfrak {gl}}_{n})} и её центр

Произвольное m и дуальные пары

Тождества Капелли-Коши-Бине

Соотношение с дуальными парами

Обобщения

Тождество Тёрнбулла для симметричных матриц

Тождество Хоув-Умеда-Констант-Сахи для антисимметричных матриц

Тождество Карасиолло — Спортиелло — Сокала для матриц Манина

Тождество Мухина — Тарасова — Варченко и модель Годена

Формулировка

Квантовая интегрируемая система Годена и теорема Талалаева

Перманенты, иммананты, след матрицы — «более высокие тождества Капелли»

Тождество Тёрнбулла для перманент антисимметричных матриц

Примечания

Ссылки

Случай m = 1 и представление S^k Cⁿ

Универсальная обёртывающая алгебра $U({\mathfrak {gl}}_{n})$ и её центр