WikiSort.ru - Музыка

Симметрическое пространство — риманово многообразие, группа изометрий которого содержит центральные симметрии с центром в любой точке.

История

Начало изучению симметрических пространств было положено Эли Картаном. В частности им была получена классификация в 1926 году.

Примеры

• Евклидово пространство,
• сферы,
• Различные проективные пространства с естественной метрикой.
• Пространство Лобачевского
• Компактные полупростые групп Ли с би-инвариантной Римановой метрикой.
• Любая компактная поверхность рода 2 и выше (с метрикой постоянной кривизны ${\displaystyle -1}$ ) является локально симметричное пространство, но не симметричное пространство.

Определение

Пусть ${\displaystyle M}$ связное Риманово многообразие и ${\displaystyle p}$ точка в ${\displaystyle M}$ .

Отображение ${\displaystyle s_{p}\colon M\to M}$ называется геодезической симметрией с центром в точке ${\displaystyle p}$ если

${\displaystyle s_{p}\circ \exp _{p}=-\exp _{p}.}$

Отображение ${\displaystyle s_{p}\colon U\to U}$ определённое на ${\displaystyle \varepsilon }$ -окерстности ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle p}$ называется локальной геодезической симметрией, с центром в точке ${\displaystyle p}$ называется отображение такое что

${\displaystyle s_{p}\circ \exp _{p}(v)=-\exp _{p}(v)}$

при ${\displaystyle |v|<\varepsilon }$ .

Риманово многообразие ${\displaystyle M}$ называется  симметрическим если центральная симметрия определена для каждой точки и при этом является изометрией ${\displaystyle M}$ .

Если то же условие выполняется для локальной геодезической симметрии, то ${\displaystyle M}$ называется локально симметрическим пространством.

Связанные определения

• Односвязное симметрическое пространство считается неприводимым, если оно не изометрично произведению двух или более Римановых симметрических простра
  • Неприводимое симметрическое называется компактного типа если имеет неотрицательную (но не равную тождественно нулю) секционную кривизну.
  • Неприводимое симметрическое называется некомпактного типа оно имеет неположительную (но не равную тождественно нулю) секционную кривизну.
• Рангом симметрического пространства называется максимальная размерность подпространства касательного пространства в некоторой (а значит в любой) точке, на котором кривизна равна тождественно нулю.

Свойства

• Риманово многообразие является локально симметрическим тогда и только тогда, когда его тензор кривизны параллелен.

• Любое односвязное, полное локально симметричное пространство является симметрическим.
  • В частности универсальное накрытие локально симметрического пространства является симметрическим.

• Группа изометрий симметрического пространства действует на нём транзитивно.
  • В частности любое симметрическое пространство является однородным пространством ${\displaystyle G/K}$ , где ${\displaystyle G}$ группа Ли и ${\displaystyle K}$ её подгруппа.

• Любое односвязное симметричное пространство изометрично произведению неприводимых.

• Ранг симметрического пространства всегда не меньше 1.
  • Если ранг равен 1, то секционная кривизна положительна или отрицательна во всех секционных направлениях и пространство является неприводимым.
  • Пространства Евклидова типа имеют ранг, равный их размерности и изометричны Евклидову пространству этой размерности.

Классификация

Любое симметрическое пространство является однородным ${\displaystyle G/K}$ , ниже дана классификация через ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle K}$ , обозначения прострнаств те же, что у Картана.

Обозначение	G	K	Размерность	Ранг	Геометрическое описание
AI	${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$	${\displaystyle (n-1)(n+2)/2}$	n − 1	Пространство всех вещественных структур на ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ сохраняющих комплексный определитель
AII	${\displaystyle \mathrm {SU} (2n)}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$	${\displaystyle (n-1)(2n+1)}$	n − 1	Пространство кватернионных структур на ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n}}$ с фиксированной Эрмитовой метрикой
AIII	${\displaystyle \mathrm {SU} (p+q)}$	${\displaystyle \mathrm {S} (\mathrm {U} (p)\times \mathrm {U} (q))}$	${\displaystyle 2pq}$	min(p,q)	Грассманиан комплексных p-мерных подпрастранств в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{p+q}}$
BDI	${\displaystyle \mathrm {SO} (p+q)}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (p)\times \mathrm {SO} (q)}$	${\displaystyle pq}$	min(p,q)	Грассманиан ориентированных p-мерных ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$
DIII	${\displaystyle \mathrm {SO} (2n)}$	${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$	${\displaystyle n(n-1)}$	[n/2]	Пространство ортогональных комплексных структур на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$
CI	${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$	${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$	${\displaystyle n(n+1)}$	n	Пространство комплексных структур на ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ сохраняющих скалярное произведение
CII	${\displaystyle \mathrm {Sp} (p+q)}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} (p)\times \mathrm {Sp} (q)}$	${\displaystyle 4pq}$	min(p,q)	Грассманиан кватернионных p-мерных подпрастранств в ${\displaystyle \mathbb {H} ^{p+q}}$
EI	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} (4)/\{\pm I\}}$	42	6
EII	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle \mathrm {SU} (6)\cdot \mathrm {SU} (2)}$	40	4	Пространство симметрических подпространств в ${\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$ исометричных ${\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {H} )P^{2}}$
EIII	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (10)\cdot \mathrm {SO} (2)}$	32	2	Комплексифицированная проективная плоскость Келли ${\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$
EIV	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle F_{4}}$	26	2	Пространство симметрических подпространств в ${\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$ изометричных ${\displaystyle \mathbb {OP} ^{2}}$
EV	${\displaystyle E_{7}}$	${\displaystyle \mathrm {SU} (8)/\{\pm I\}}$	70	7
EVI	${\displaystyle E_{7}}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (12)\cdot \mathrm {SU} (2)}$	64	4
EVII	${\displaystyle E_{7}}$	${\displaystyle E_{6}\cdot \mathrm {SO} (2)}$	54	3	Пространство симметрических подпространств в ${\displaystyle (\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$ изоморфных ${\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$
EVIII	${\displaystyle E_{8}}$	${\displaystyle \mathrm {Spin} (16)/\{\pm vol\}}$	128	8
EIX	${\displaystyle E_{8}}$	${\displaystyle E_{7}\cdot \mathrm {SU} (2)}$	112	4	Пространство симметрических подпространств в ${\displaystyle (\mathbb {O} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$ изоморфных ${\displaystyle (\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$
FI	${\displaystyle F_{4}}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} (3)\cdot \mathrm {SU} (2)}$	28	4	Пространство симметрических подпространств в ${\displaystyle \mathbb {O} P^{2}}$ изоморфных ${\displaystyle \mathbb {H} P^{2}}$
FII	${\displaystyle F_{4}}$	${\displaystyle \mathrm {Spin} (9)}$	16	1	плоскость Кэли ${\displaystyle \mathbb {O} P^{2}}$
G	${\displaystyle G_{2}}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (4)}$	8	2	Пространство подалгебр алгебры Кэли ${\displaystyle \mathbb {O} }$ изоморфные алгебре Кватернионов ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Вариации и обобщения

Примечания

Литература

• Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. — ИЛ, 1949.
• Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. — Мир, 1964.
• Лоос О. Симметрические пространства. — Наука, 1985.